平方根　＜中学校数学＞

平方と平方根

２乗のことを平方といいます。
単位などでも平方という言葉は使われています。（例：cm^２＝平方ｾﾝﾁﾒｰﾄﾙ）

３の平方＝３^２＝９
したがって、９は３の平方といいます。

今の２乗する計算で
９という平方を作るための根源（もとになったもの）は３でした。
平方を作るための根源（もとになったもの）を平方根といいます。

９という平方を作るための根源（もとになったもの）は３
９の平方根＝３

ただし（−３）^２も９になります。
したがって９の平方根＝±３になります。

平方根はプラスとマイナスの２つがあるので注意。

２乗して０になるものは０だけなので、０の平方根は０だけ。
２乗してマイナスになるものはないので、負の数の平方根は存在しない。

根号

３の平方根の場合、２乗して３になる数は1.732・・・と無限に続くため、書き表すことができません。
このような場合、と書き、ルート３と読みます。
したがって、３の平方根は±です。

の記号は根号（こんごう）といい、ルートと読みます。

書き換え

９の平方根は±３でした。
また、９の平方根は±と表すこともできます。
したがって３＝ということがいえます。

＜注意＞
＝３　（±３ではありません）
書き換えの場合は符号は±にしないで、そのままの符号になります。
平方根は？と聞かれたときだけ±をつけます。

	根号の中身を素因数分解し、 ２乗の形になったものは 根号の外に出すことができる。
	２乗の形にならなかったものは そのまま根号の中に残る。
	根号の中身を素因数分解したものは ２５×３と直さずに、２乗の形ごとにまとめて ２２×２２×２×３とした方がわかりやすい。 最後に根号の外側同士、内側同士の計算

平方根の中身が分数の場合

のように直すことができます。

平方根の乗法

例 �@	×	＝	・・・根号の中身同士をかけあわせる
	×２	＝２	・・・根号の中と外のものは計算できない 　　（文字式同様に×を省くだけ）
	２×５	＝１０	・・・根号の内側同士、外側同士計算する
	２×３	＝６ ＝６× ＝６×２ ＝１２	・・・の内側同士、外側同士計算する ・・・●＝●×と書き換えると間違えにくい ・・・の中身が簡単な形に直す ・・・の外側をもう一度計算
	×	＝２×２ ＝６	・・・最初にの中身が簡単な形に直したほうが計算が簡単になる ・・・の内側同士、外側同士計算する

平方根の加減

３＋２を例に考える。
まずをAとおくと、

３＋２＝３A＋２A＝５A

ここでAにをもどすと、答えは５になる。

したがって平方根の加減では、根号の中身は変えずに、根号の外側だけを計算する。
平方根は文字式と同様の考え方で計算できる。

例 �A	３＋２	＝（３＋２）	・・・の中身が同じものは、外側だけの計算
	＋２	＝１＋２ ＝（１＋２） ＝３	・・・＝１であることを確認 ・・・の中身が同じものは、外側だけの計算
	＋＋	＝１＋１＋ ＝（１＋１）＋ ＝２＋	・・・＝１であることを確認 ・・・の中身が同じものだけ計算できる
	３−２	＝（３−２） ＝１ ＝	・・・ひき算も同様にの中身が同じものは計算 ・・・１の場合、文字式と同様に１は省略できる

有理化

分母に根号がある場合、分母から根号をなくす作業をします。このことを有理化（ゆうりか）といいます。

例 �B		＝ ×１			・・・ある数に１をかけても答えが変わらないことを利用
		＝ ×			・・・１＝ に変える（分母の平方根と同じものにする）
		＝ × ×
		＝ ２			・・・結果的に分母から根号がなくなる（有理化）
	２	＝ ×１ ２			・・・ある数に１をかけても答えが変わらないことを利用
		＝ × ２			・・・１＝ に変える（分母の平方根と同じものにする）
		＝ × ２×
		＝ ２
		＝ ３ ２×３			・・・結果的に分母から根号がなくなる（有理化）
		＝ ２			・・・最後に約分を忘れずに（約分は根号の外同士）

平方根の除法

乗法と同様に、根号の内側同士、外側同士に分けて計算し、
最後は必ず根号の中身を簡単な形に直します。
最後に有理化を忘れずに。

例 �C	÷	＝	・・・根号の中身同士をわり算する
	÷２	＝ １ ２	・・・根号の中と外のものは計算できない 　　（文字式同様に×を省くだけ）
	６÷２	＝３	・・・根号の内側同士、外側同士計算する
	２÷	＝ ２	・・・ここで終わりではない
		＝ ２× ×	・・・分母を有理化する
		＝ ２ ２
		＝	・・・約分を忘れずに

平方根の乗法

例 �D	×	＝（×）×（×） ＝（×）×（×） ＝７	・・・素因数分解を利用してを分解する ・・・の中身の同じものがないか探し、並び替えをする ・・・それぞれ分けて計算する
	××	＝（×）×（×）×（××） ＝（××××）×（×） ＝（×）×（×）××（×） ＝２×２××３ ＝１２	・・・素因数分解を利用してを分解する ・・・の中身の同じものがないか探し、並び替えをする ・・・の中身の同じものを２個ずつセットにする

平方根の加減

例 �E	＋ ３	＝ ３ ＋ １ ３ ３	・・・通分する（ ＝ １ であることに注意） ３ ３
		＝ ４ ３
	＋	＝＋２ ＝３	・・・最初にの中身を簡単にする

平方根の除法

例 �F			・・・わり算をかけ算になおす 　 　 ・・・約分する

いろいろな計算

例 �G	２ ＋ ３	＝ ２ ＋ ２ ３	・・・有理化する
		＝＋ ３	・・・約分する
		＝ ３ ＋ １ ３ ３	・・・通分する（ ＝ １ であることに注意） ３ ３
		＝ ４ ３
	＋÷	＝＋ ＝２	・・・四則混合計算の順序に沿って計算する
	（−）	＝×−× ＝２−２	・・・分配法則を用いて計算する
	（−）÷	＝÷−÷ ＝−１	・・・分配法則を用いて計算する
	−	＝ − ×	・・・有理化する
		＝ （−）× ２
		＝ ×−× ２	・・・分配法則を用いて計算する
		＝ −２ ２

近似値�@

＝2.236として、の値を求める。

＝10だから
＝10×2.236＝22.36

近似値�A

＝2.236、＝7.071として、の値を求める。

5000は以下の２通りの方法で書き換えることができる。

２乗の形になったものは根号の外に出すことができるので
＝10と直すことができる。
したがって、＝10＝10×7.071＝70.71

近似値�B

＝2.236、＝7.071として、の値を求める。

0.05＝	５	であるため、
	100
＝		＝		＝0.2236
			10

近似値�C

＝2.236、＝7.071として、の値を求める。

0.5は以下の２通りの方法で書き換えることができる。

＝		＝		＝0.7071
			10

近似値�D

＝2.236として、	２	の値を求める

まず先に有理化してから代入し、計算する。

２	＝	２×	＝	２	＝	２	×＝	２	×2.236＝0.8944
		×		５		５		５

大小関係�@

３＜＜４をみたす自然数aをすべて求める。

３と４を根号を使って表すと
＜＜

したがってa＝10、11、12、13、14、15

大小関係�A

２＜＜３をみたす自然数aの個数を求める。

２と３を根号を使って表すと
＜＜

すべて倍すると
＜＜

したがってaは20より大きく45未満の自然数であることがわかる。
答え：24個

その他の応用

が正の整数になるような自然数aのうち最小のものを求める。

＝× ＝××× ＝３××

したがってa＝５のとき根号がなくなる。
答え：a＝５

では、が正の整数になるような自然数aのうち小さいものから３つを求める。

＝× ＝××× ＝３××

まずa＝５のとき根号がなくなる。

それ以外でが正の整数になる時を考えると
＝×（×）
＝×（×）
＝×（×）
などのようにに同じものを２回かけ合せたときがこれにあたる。

したがってa＝５、20、45

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