共通因数をかっこの外に出す因数分解
各項に共通する因数を共通因数といいます。
●×△＋●×□＝●×（△＋□）
△×●＋□×●＝（△＋□）×●
２a＋６の場合、まず項に分けると２aと６に分かれます。
２a＝２×a
６＝２×３
したがって２が共通因数であるといえます。
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例
① |
２a＋６ |
＝２×a＋２×３
＝２×（a＋３）
＝２（a＋３） |
・・・各項ごとに因数に分解する
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・２a＋６は２と（a＋３）の因数の積で表されることがわかった |
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| ab－a２ |
＝a×b－a×a
＝a×（b－a）
＝a（b－a） |
・・・各項ごとに因数に分解する
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・ab－a２はaと（b－a）の因数の積で表されることがわかった |
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| a２b－ab２ |
＝ab×a－ab×b
＝ab×（a－b）
＝ab（a－b） |
・・・各項ごとに因数に分解する
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・a２b－ab２はabと（a－b）の因数の積で表されることがわかった |
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| ４ax＋６ay |
＝２a×２x＋２a×３y
＝２a×（２x＋３y）
＝２a（２x＋３y） |
・・・各項ごとに因数に分解する
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・４ax＋６ayは２aと（２x＋３y）の因数の積で表されることがわかった |
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このようにして多項式を因数の積の形で表すことを因数分解といいます。
乗法公式
| 乗法公式１ |
（x＋a）（x＋b） |
＝x２＋（a＋b）x＋ab |
| 乗法公式２ |
（x＋a）２ |
＝x２＋２ax＋a２ |
| 乗法公式３ |
（x－a）２ |
＝x２－２ax＋a２ |
| 乗法公式４ |
（x＋a）（x－a） |
＝x２－a２ |
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これらの公式を暗記していなければ先へは進めません。
乗法公式１を使った因数分解
たとえば x２＋５x＋６ の因数分解を考えてみる
| 乗法公式１ （x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋ab |
問題と乗法公式を見比べてみると、同じ形をしていることがわかる。
| 問題 |
x２＋５x＋６ |
| 乗法公式１ |
x２＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b） |
xの係数（a＋b）＝５、数字の項ab＝６であれば、問題は公式にピッタリ一致する。
たして５になり、かけて６になる２つの数a、bを探すと、
a、bが２と３のとき、たして５になり、かけて６になることがわかる。
したがって公式のaとbにそれぞれ２と３を入れれば因数分解は完成する。
x２＋５x＋６＝（x＋２）（x＋３）
＜乗法公式１での符号の見分け方＞
乗法公式１ （x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋ab において
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（a＋b） |
ab |
| a、bともに正のとき、 |
正 |
正 |
| a、bの一方が正、他方が負のとき、 |
正または負 |
負 |
| a、bともに負のとき、 |
負 |
正 |
これにより、因数分解したときのaとbの符号が判断できます。
abの部分が負であったなら、aとbには違う符合のものが入ります。
abの部分が正で、（a＋b）の部分も正であったなら、aとbには正の数が入ります。
abの部分が正で、（a＋b）の部分が負であったなら、aとbには負の数が入ります。
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例
② |
x２＋３x＋２ |
＝（x＋１）（x＋２） |
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| x２－５x＋６ |
＝（x－２）（x－３） |
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| x２＋５x－６ |
＝（x＋６）（x－１） |
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| x２－２x－８ |
＝（x＋２）（x－４） |
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乗法公式２、乗法公式３を使った因数分解
＜乗法公式２の例＞
たとえば x２＋６x＋９ の因数分解を考えてみる
乗法公式１に当てはめて解くこともできるが、数字の９に注目。
９は、ある数の２乗（３または－３の２乗）だから
乗法公式２または乗法公式３にあてはめて簡単に因数分解できるかもしれない。
乗法公式２ （x＋a）２＝＝x２＋２ax＋a２
乗法公式３ （x－a）２＝＝x２－２ax＋a２ |
問題のxの係数がプラスなので乗法公式２と見比べてみると、似たような形をしていることがわかる。
| 問題 |
x２＋６x＋９ |
| 乗法公式２ |
x２＋２ax＋a２＝（x＋a）２ |
xの係数は正だから、この公式にあてはめることができたならば、aには正の数が入ることがわかる
数字の項に着目すると、９は３の２乗だからa＝３が予想できる。
このa＝３を入れてみたときに、xの係数が一致すれば問題は公式にピッタリ一致する。
公式の２aにa＝３を代入すると６になるので問題と公式のxの係数も一致する。
したがって公式のaに３を入れれば因数分解は完成する。
x２＋６x＋９＝（x＋３）２
＜乗法公式３の例＞
同様に x２－４x＋４ の因数分解を考えてみる
乗法公式１に当てはめて解くこともできるが、数字の４に注目。
４は、ある数の２乗（２または－２の２乗）だから
乗法公式２または乗法公式３にあてはめて簡単に因数分解できるかもしれない。
乗法公式２ （x＋a）２＝＝x２＋２ax＋a２
乗法公式３ （x－a）２＝＝x２－２ax＋a２ |
問題のxの係数がマイナスなので乗法公式３と見比べてみると、似たような形をしていることがわかる。
| 問題 |
x２－４x＋４ |
| 乗法公式３ |
x２－２ax＋a２＝（x－a）２ |
数字の項に着目すると、４は２の２乗だからa＝２が予想できる。（aには正の数が入る）
このa＝２を入れてみたときに、xの係数が一致すれば問題は公式にピッタリ一致する。
公式の－２aにa＝２を代入すると－４になるので問題と公式のxの係数も一致する。
したがって公式のaに２を入れれば因数分解は完成する。
x２－４x＋４＝（x－２）２
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例
③ |
x２＋１０x＋２５ |
＝（x＋５）２ |
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| x２－６x＋９ |
＝（x－３）２ |
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乗法公式４を使った因数分解
たとえば x２－４ の因数分解を考えてみる
問題と乗法公式を見比べてみると、同じ形をしていることがわかる。（２乗－２乗の形）
| 問題 |
x２－４ |
| 乗法公式１ |
x２－a２＝（x＋a）（x－a） |
２乗して４になるものは２なので、公式のaに２を入れれば因数分解は完成する。
x２－４＝（x＋２）（x－２）
乗法公式１を使った因数分解
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例
⑤ |
４x２＋８x＋３ |
＝（２x）２＋４×（２x）＋３
＝A２＋４A＋３
＝（A＋１）（A＋３）
＝（２x＋１）（２x＋３） |
・・・４x２＝（２x）２に注目
・・・２x＝Aに置き換える
・・・因数分解
・・・Aを（２x）にもどす |
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乗法公式２、乗法公式３を使った因数分解
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例
⑥ |
４x２－１２x＋９ |
＝（２x）２－６×（２x）＋９
＝A２－６A＋９
＝（A－３）２
＝（２x－３）２ |
・・・４x２＝（２x）２に注目
・・・２x＝Aに置き換える
・・・因数分解
・・・Aを（２x）にもどす |
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| x２＋３x＋ |
９ |
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・・・ |
９ |
＝（ |
３ |
）２に注目 |
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| ４ |
４ |
２ |
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| ＝｛x２＋２×（ |
３ |
）x＋（ |
３ |
）２｝ |
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| ２ |
２ |
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乗法公式４を使った因数分解
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例
⑦ |
－x２＋９ |
＝９－x２
＝（３＋x）（３－x） |
・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
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| ４x２－１ |
＝（２x）２－１
＝A２－１
＝（A＋１）（A－１）
＝（２x＋１）（２x－１） |
・・・４x＝（２x）２であることに着目
・・・２x＝Aとおく
・・・因数分解
・・・Aを２xにもどす |
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| x４－１ |
＝（x２）２－１
＝A２－１
＝（A＋１）（A－１）
＝（x２＋１）（x２－１）
＝（x２＋１）（x＋１）（x－１） |
・・・x４＝（x２）２であることに着目
・・・x２＝Aとおく
・・・因数分解
・・・Aをx２にもどす
・・・さらに因数分解ができる |
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例
⑧ |
２x２－８ |
＝２（x２－４）
＝２（x＋２）（x－２） |
・・・まずは共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・乗法公式で因数分解を進める |
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| －x２＋２x－１ |
＝－（x２－２x＋１）
＝－（x－１）２ |
・・・最初に全体をマイナスかっこでくくる
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| （x＋１）２＋４（x＋１）＋３ |
＝A２＋４A＋３
＝（A＋１）（A＋３）
＝（x＋１＋１）（x＋１＋３）
＝（x＋２）（x＋４） |
・・・（x＋１）をAとおく
・・・因数分解
・・・Aに（x＋１）をもどす
・・・かっこの中で計算できるものは計算する |
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| x２＋２x＋１－y２ |
＝（x２＋２x＋１）－y２
＝（x＋１）２－y２
＝A２－y２
＝（A＋y）（A－y）
＝｛（x＋１）＋y｝｛（x＋１）－y｝
＝（x＋１＋y）（x＋１－y） |
・・・最初に因数分解する場所を決める
・・・部分的に因数分解
・・・x＋１＝Aとおく
・・・因数分解を続ける
・・・Aにx＋１をもどす（必ずかっこをつけて）
・・・代入の時に使ったかっこをはずす |
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| x２－y２＋２y－１ |
＝x２－（y２－２y＋１）
＝x２－（y－１）２
＝x２－A２
＝（x＋A）（x－A）
＝｛x＋（y－１）｝｛x－（y－１）｝
＝（x＋y－１）（x－y＋１） |
・・・最初に因数分解する場所を決める
・・・部分的に因数分解
・・・y－１＝Aとおく
・・・因数分解を続ける
・・・Aにy－１をもどす（必ずかっこをつけて）
・・・代入の時に使ったかっこをはずす |
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| x＋xy＋y＋１ |
＝（x＋xy）＋y＋１
＝x（１＋y）＋（ｙ＋１）
＝x（ｙ＋１）＋（ｙ＋１）
＝xA＋A
＝A（x＋１）
＝（ｙ＋１）（x＋１） |
・・・最初に因数分解する場所を決める
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・次の因数分解がしやすいように順番を変える
・・・y＋１＝Aとおく
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・Aにy＋１をもどす（必ずかっこをつけて） |
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| x２＋xy＋y－１ |
＝（xy＋y）＋（x２－１）
＝y（x＋１）＋（x＋１）（x－１）
＝yA＋A（x－１）
＝A｛y＋（x－１）｝
＝A（y＋x－１）
＝（x＋１）（y＋x－１） |
・・・一番次数の小さい文字（この場合はy）を含む項をまとめる
・・・因数分解を進める
・・・x＋１＝Aとおく
・・・共通因数を外に出し、かっこでくくる
・・・不要になったかっこをはずす
・・・Aにx＋１をもどす（必ずかっこをつけて） |
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因数分解を利用した計算
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例
⑨ |
５１２－４９２ |
＝（５１＋４９）（５１－４９）
＝１００×２
＝２００ |
・・・因数分解する
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証明問題
連続した２つの偶数の積に１を加えたものは奇数の２乗になることを証明
連続した２つの偶数は ２x と ２x＋２ で表すことができる。（xは整数）
| ２x×（２x＋２）＋１ |
＝４x２＋４x＋１
＝（２x＋１）２ |
・・・分配法則を使って計算
・・・因数分解 |
したがって、連続した２つの偶数の積に１を加えたものは奇数の２乗になる
発展問題
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例
⑩ |
（x＋１）（x＋２）（x－３）（x－４） |
＝（x＋１）（x－３）（x＋２）（x－４）－３６
＝（x２－２x－３）（x２－２x－８）－３６
＝（A－３）（A－８）－３６
＝A２－１１A－２４－３６
＝A２－１１A－６０
＝（A＋５）（A－１２）
＝（x２－２x－５）（x２－２x－１２） |
・・・順番を入れ替えます
・・・部分的に展開します
・・・（x２－２x）をAとおく
・・・展開する
・・・計算する
・・・因数分解する
・・・Aにx２－２xをもどす |
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