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勉強内容の解説・ガイド

多項式　＜中学校数学＞

分配法則

●×（△＋□）＝●×△＋●×□

（△＋□）×●＝△×●＋□×●

展開

分配法則などを用いて、かっこのない式に変形することを展開（てんかい）といいます。

＜分配法則を使った展開＞
例
①		 ５xy（３x－２y） ＝５xy×３x－５xy×２y
＝１５x２y＋１０xy２
２ x（６x＋９y）
３
＝ ２ x×６x＋ ２ x×９y
３ ３
＝４x２＋６xy
（３xy－９x）÷３ ＝３xy÷３－９x÷３
＝xy－３x

＜基本式＞

（a＋b）（c＋d）を展開します。

（a＋b）（c＋d） ＝（a＋b）M
＝aM＋bM
＝a（c＋d）＋b（c＋d）
＝ac＋ad＋bc＋bd		 ・・・（c＋d）＝Mとおきます
・・・分配法則にしたがって、かっこをはずす
・・・Mをもとの（c＋d）にもどす
・・・分配法則にしたがって、かっこをはずす

したがって　（a＋b）（c＋d）＝＝ac＋ad＋bc＋bd　になります。

（a＋b）（c＋d）＝＝ac＋ad＋bc＋bd

＜基本式を使った展開＞
例
②		 （x＋３）（２a＋３b） ＝２ax＋３bx＋６a＋９b
（３a＋２）（２a＋３） ＝６a２＋９a＋４a＋６
＝６a２＋１３a＋６

乗法公式

＜乗法公式１＞

（x＋a）（x＋b） ＝x２＋bx＋ax＋ab
＝x２＋（a＋b）x＋ab		 ・・・基本式より展開
・・・xの項を計算

＜乗法公式２＞

（x＋a）２ ＝（x＋a）（x＋a）
＝x２＋ax＋ax＋a２
＝x２＋２ax＋a２		 　
・・・基本式より展開
・・・xの項を計算

＜乗法公式３＞

（x－a）２ ＝（x－a）（x－a）
＝x２－ax－ax＋a２
＝x２－２ax＋a２		 　
・・・基本式より展開
・・・xの項を計算

＜乗法公式４＞

（x＋a）（x－a） ＝x２－ax＋ax－a２
＝x２－a２		 ・・・基本式より展開
・・・xの項を計算

以上の４つの乗法公式は暗記が必要です。

乗法公式１ （x＋a）（x＋b） ＝x２＋（a＋b）x＋ab
乗法公式２ （x＋a）２ ＝x２＋２ax＋a２
乗法公式３ （x－a）２ ＝x２－２ax＋a２
乗法公式４ （x＋a）（x－a） ＝x２－a２

乗法公式１を使った展開
例
③		 （x＋３）（x＋２） ＝x２＋（３＋２）x＋（３×２）
＝x２＋５x＋６
（x＋３）（x－２） ＝x２＋（３－２）x＋｛３×（－２）｝
＝x２＋x－６
（x－３）（x＋２） ＝x２＋（－３＋２）x＋｛（－３）×２｝
＝x２－x－６
（x－３）（x－２） ＝x２＋（－３－２）x＋｛（－３）×（－２）｝
＝x２－５x＋６

乗法公式２、乗法公式３を使った展開
例
④		 （x＋１）２ ＝x２＋２×１×x＋１２
＝x２＋２x＋１
（x－３）２ ＝x２－２×３×x＋３２
＝x２－６x＋９

x－５＝x＋（－５）　このように書き換えができるため、
（x－５）２＝｛x＋（－５）｝２　と書き換えることができます。
したがって、乗法公式２と乗法公式３は全く同じものということができます。
例
④
Ⅱ		 （x－５）２ ＝｛x＋（－５）｝２
＝x２＋２×（－５）×x＋（－５）２
＝x２－１０x＋２５

乗法公式４を使った展開
例
⑤		 （x＋３）（x－３） ＝x２－３２
＝x２－９

分配法則を使った展開
例
⑥		 ２x（３x－y）－３y（x＋２y） ＝（２x×３x－２x×y）－（３y×x＋３y×２y）
＝（６x２－２xy）－（３xy＋６y２）
＝６x２－２xy－３xy－６y２
＝６x２－５xy－６y２
（２x３＋４x２－x）÷ １ x
２
＝（２x３＋４x２－x）× ２
x
＝２x３× ２ ＋４x２× ２ －x× ２
x x x
＝４x２＋８x－２

基本式を使った展開
例
⑦		 （x＋３）（a＋b＋c） ＝ax＋bx＋cx＋３a＋３b＋３c
（x＋３）（a＋b＋c）
＜考え方＞		 ＝（x＋３）M
＝xM＋３M
＝x（a＋b＋c）＋３（a＋b＋c）
＝ax＋bx＋cx＋３a＋３b＋３c

乗法公式１を使った展開
例
⑧		 （y＋３）（y－２） ＝y２＋（３－２）y＋｛３×（－２）｝
＝y２＋y－６		 ・・・文字がxでなくても同じように公式が使えます
　
（２x＋３）（２x＋１） ＝（A＋３）（A＋１）
＝A２＋（３＋１）A＋（３×１）
＝A２＋４A＋３
＝（２x）２＋４×（２x）＋３
＝４x２＋８x＋３		 ・・・２x＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの２xにもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　
（４＋x）（２＋x） ＝（x＋４）（x＋２）
＝x２＋（４＋２）x＋（４×２）
＝x２＋６x＋８		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
　
　
（４－x）（２－x） ＝（－x＋４）（－x＋２）
＝（A＋４）（A＋２）
＝A２＋（４＋２）A＋（４×２）
＝A２＋６A＋８
＝（－x）２＋６×（－x）＋８
＝x２－６x＋８		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
・・・（－x）＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの（－x）にもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　

乗法公式２、乗法公式３を使った展開
例
⑨		 （y＋１）２ ＝y２＋２×１×y＋１２
＝y２＋２y＋１		 ・・・文字がxでなくても同じように公式が使えます
　
（３x＋２）２ ＝（A＋２）２
＝A２＋２×２×A＋２２
＝A２＋４A＋４
＝（３x）２＋４×（３x）＋４
＝９x２＋１２x＋４		 ・・・３x＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの３xにもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　
（３＋x）２ ＝（x＋３）２
＝x２＋２×３×x＋３２
＝x２＋６x＋９		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
　
　
（３－x）２ ＝（－x＋３）２
＝（A＋３）２
＝A２＋２×３×A＋３２
＝A２＋６A＋９
＝（－x）２＋６×（－x）＋９
＝x２－６x＋９		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
・・・（－x）＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの（－x）にもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　

乗法公式４を使った展開
例
⑩		 （y＋２）（y－２） ＝y２－２２
＝y２－４		 ・・・文字がxでなくても同じように公式が使えます
　
（２x－１）（２x＋１） ＝（A－１）（A＋１）
＝A２－１２
＝A２－１
＝（２x）２－１
＝４x２－１		 ・・・２x＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの２xにもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　
（－４＋x）（４＋x） ＝（x－４）（x＋４）
＝x２－４２
＝x２－１６		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
　
　
（－３－x）（３－x） ＝（－x－３）（－x＋３）
＝（A＋３）（A＋３）
＝A２－３２
＝A２－９
＝（－x）２－９
＝x２－９		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
・・・（－x）＝Aとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの（－x）にもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
　
例
⑪		 （a＋b＋３）（a＋b－２） ＝（M＋３）（M－２）
＝M２＋（３－２）M＋｛３×（－２）｝
＝M２＋M－６
＝（a＋b）２＋（a＋b）－６
＝a２＋２ab＋b２＋a＋b－６		 ・・・（a＋b）＝Mとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Aをもとの２xにもどす（もどすときは必ずかっこをつける）
・・・乗法公式を使って展開
（a＋２b－２）（a＋b－２） ＝（a－２＋２b）（a－２＋b）
＝（M＋２b）（M＋b）
＝M２＋（２b＋b）M＋（２b×b）
＝M２＋３bM＋２b２
＝（a－２）２＋３b（a－２）＋２b２
＝a２－４a＋４a＋３ab－６b＋２b２		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
・・・（a－２）＝Mとおく
・・・乗法公式を使って展開
　
・・・Mをもとの（a－２）にもどす（必ずかっこをつけて）
・・・乗法公式を使って展開
（a－２b＋３）２ ＝（M＋３）２
＝M２＋６M＋９
＝（a－２b）２＋６（a－２b）＋９
＝a２－４ab＋４b２＋６a－１２b＋９		 ・・・（a－２b）＝Mとおく
・・・乗法公式を使って展開
・・・Mをもとの（a－２b）にもどす（必ずかっこをつけて）
・・・乗法公式を使って展開
（a＋２b－１）（a－２b－１） ＝（a－１＋２b）（a－１－２b）
＝（M＋２b）（M－２b）
＝M２－４b２
＝（a－１）２－４b２
＝a２－２a＋１－４b２		 ・・・公式を使いやすいように、たし算の順序を変える
・・・（a－１）＝Mとおく
・・・乗法公式を使って展開
・・・Mをもとの（a－１）にもどす（必ずかっこをつけて）
・・・乗法公式を使って展開　
（a＋２b－１）（a－２b＋１） ＝｛a＋（２b－１）｝｛a－（２b－１）｝
＝（a＋M）（a－M）
＝a２－M２
＝a２－（２b－１）２
＝a２－（４b２－４b＋１）
＝a２－４b２＋４b－１		 ・・・公式を使いやすいように、かっこでくくる
・・・（２b－１）＝Mとおく
・・・乗法公式を使って展開
・・・Mをもとの（２b－１）にもどす（必ずかっこをつけて）
・・・＜重要＞この途中式を省略すると高い確率で間違えます
　　

乗法公式を利用した計算
例
⑫		 １０２２ ＝（１００＋２）２
＝１００２＋２×１００×２＋２２
＝１００００＋４００＋４
＝１０４０４		 ・・・１０２＝１００＋２
・・・乗法公式を使って展開
　
　
９８２ ＝（１００－２）２
＝１００２－２×１００×２＋２２
＝１００００－４００＋４
＝９６０４		 ・・・９８＝１００－２
・・・乗法公式を使って展開
　
　
４８×５２ ＝（５０－２）（５０＋２）
＝５０２－２２
＝２５００－４
＝２４９６		 ・・・４８＝５０－２、５２＝５０＋２
・・・乗法公式を使って展開
　
　



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