連立方程式　＜中学校数学＞

連立方程式の加減法

２つの式を足したり引いたりして、xまたはyの片方を消し、解く方法を加減法（かげんほう）といいます。

例
①

｛	５x＋２y＝２１	・・・①	５x＋２y＝２１	x＝３を①の式に代入
	３x＋２y＝１４	・・・②	－）３x＋２y＝１４	５×３＋２y １５＋２y ２y y	＝２１＝２１＝６＝３	したがって
			２x　　　＝　６ x　　　＝　３			｛	x＝３
							y＝３

・・・yの項の係数が同じため、
　　　式同士をひくとyの項が消えます

｛	３x＋４y＝２９	・・・①	３x＋４y＝２９	y＝５を①の式に代入
	３x＋２y＝１９	・・・②	－）３x＋２y＝１９	３x＋４×５３x＋２０３x x	＝２９＝２９＝９＝３	したがって
			２y＝１０ y＝　５			｛	x＝３
							y＝５

・・・xの項の係数が同じため、
　　　式同士をひくとxの項が消えます

｛	５x＋２y＝２４	・・・①	５x＋２y＝２４	x＝４を①の式に代入
	３x－２y＝　８	・・・②	＋）３x－２y＝　８	５×４＋２y ２０＋２y ２y y	＝２４＝２４＝４＝２	したがって
			８x　　　＝３２ x　　　＝　４			｛	x＝４
							y＝２

・・・yの項の係数の絶対値が同じで、
　　　符号が反対のため、
　　　式同士をたすとyの項が消えます

２つの式は、そのまま足したり引いたりしても、xやyが消えない場合もあります。

それぞれの式を●倍することによって、xやyが消えるようにします。

例
②

｛	４x＋３y＝１１	・・・①　×１すると	｛	４x＋３y＝１１	４x＋３y＝１１	y＝１を②の式に代入
	x＋２y＝　４	・・・②　×４すると		４x＋８y＝１６	－）４x＋８y＝１６	x＋２×１ x＋２ x	＝４＝４＝２	したがって
					－５y＝－５ y＝　１			｛	x＝２
									y＝１

｛	３x＋４y＝－３	・・・①　×２すると	｛	６x＋８y＝－６	６x＋８y＝－６	y＝１２を①の式に代入
	２x＋３y＝　２	・・・②　×３すると		６x＋９y＝　６	－）６x＋９y＝　６	３x＋４×１２３x＋４８３x x	＝－３＝－３＝－５１＝－１７	したがって
					－y＝－１２ y＝　　１２			｛	x＝－１７
									y＝１２

連立方程式の代入法

片方の式を●＝△＋□の形にして、もうひとつの式の●の部分に式ごと代入する方法を代入法（だいにゅうほう）といいます。

代入法で式を代入するとき、必ずかっこをつけて代入します。

例 ③	｛	y＝５x＋３・・・①
		y＝３x－５・・・②

①の式はy＝５x＋３なので、②の式のyの部分に（３x－５）をそのまま代入します。

y （５x＋３）５x－３x ２x x	＝３x－５＝３x－５＝－５－３＝－８＝－４	x＝－４を①に代入する	y y y	＝５×（－４）＋３＝－２０＋３＝－１７	したがって｛	x＝－４
						y＝－１７

例 ④	｛	３y＝７x＋２・・・①
		３y＝１０x－１・・・②

①の式は３y＝７x＋２なので、②の式の３yの部分に（７x＋２）をそのまま代入します。

３y （７x＋２）７x－１０x －３x x	＝１０x－１＝１０x－１＝－１－２＝－３＝１	x＝１を①に代入する	３y ３y ３y y	＝７×１＋２＝７＋２＝９＝３	したがって｛	x＝１
						y＝３

例 ⑤	｛	y＝２x＋１　　・・・①
		３x－２y＝－４・・・②

①の式はy＝２x＋１なので、②の式のyの部分に（２x＋１）をそのまま代入します。

３x＋２y ３x－２（２x＋１）３x－４x－２３x－４x －x x	＝－４＝－４＝－４＝－４＋２＝－２＝２	x＝２を①に代入する	y y y	＝２×２＋１＝４＋１＝５	したがって｛	x＝２
						y＝５

例
⑥

｛	0.3x＋0.4y＝２　・・・①	×10して少数をなくす	｛	３x＋４y＝２０	・・・×２すると	｛	６x＋８y＝４０
	0.2x－0.6y＝－0.4・・・②	×10して少数をなくす		２x－６ｙ＝－４	・・・×３すると		６x－１８y＝－１２
				あとは加減法により解くだけ		｛	x＝４
							y＝２

｛

x＋１	－	y－１	＝２

２		３

×６して分数をなくす

３x＋３－２y＋２＝１２
３x－２y＝７

・・・×３すると

９x－６y＝２１

１	x＋	１	y＝	３

６		４		４

×１２して分数をなくす

２x＋３ｙ＝９

・・・×２すると

４x＋６y＝１８

あとは加減法により解くだけ

｛

x＝３

y＝１

●＝△＝□ の連立方程式

●、△、□が全て等しいということなので、 ●＝△、●＝□、△＝□の３つの等式で表すことができる。

●＝△＝□ならば
●＝△
●＝□
△＝□

この３つの等式のうち２つを自由に選べば連立方程式が完成する

３x＋２y＝５＋３y＝２x＋１１の場合

｛	３x＋２y＝５＋３y・・・①	計算して式を簡単にすると	｛	３x－y＝５	・・・×３すると	｛	９x－３y＝１５
	５＋３y＝２x＋１１・・・②			－２x＋３ｙ＝６	・・・×１すると		－２x＋３ｙ＝６
				あとは加減法により解くだけ		｛	x＝３
							y＝４

文章題①

ノート２冊とボールペン３本のセットは４４０円
ノート５冊とボールペン４本のセットは８２０円
ノート１冊の値段とボールペン１本の値段を求める

ノートの値段をx円、ボールペンの値段をy円とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

わかりにくければ、わかりやすいように文章を書き換えます。
文章を書き換えたら、その文章にあてはまるものをそのまま下に書いていきます。

・ノート２冊の値段	＋	ボールペン３本の値段	＝	４４０円
↓	↓	↓	↓	↓
２x	＋	３y	＝	４４０

・ノート５冊の値段	＋	ボールペン４本の値段	＝	８２０円
↓	↓	↓	↓	↓
５x	＋	４y	＝	８２０

したがって連立方程式を作ると

｛	２x＋３y＝４４０	これを解くと	｛	x＝１００
	５x＋４y＝８２０			y＝８０

答え：ノート１００円、ボールペン８０円　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題②

１本１２０円の缶ジュースと１本１４０円のペットボトルを合わせて１０本買った。
合計金額が１２８０円だったとき、それぞれ何本買ったか求める。（消費税は考えない）

缶ジュースの本数をx本、ペットボトルの本数をy本とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

・缶ジュースの本数	＋	ペットボトルの本数	＝	１０本
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	１０

・缶ジュースの合計金額	＋	ペットボトルの合計金額	＝	１２８０円
↓	↓	↓	↓	↓
１２０x	＋	１４０y	＝	１２８０

したがって連立方程式を作ると

｛	x＋y＝１０	これを解くと	｛	x＝６
	１２０x＋１４０y＝１２８０			y＝４

答え：缶ジュース６本、ペットボトル４本　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題③

４％の食塩水と１０％の食塩水を混ぜて６％の食塩水を３００g作る。
このときに混ぜたそれぞれの食塩水の量を求める。

４％の食塩水の量をx（g）、１０％の食塩水の量をy（g）とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

まず表を書きます

		食塩水	濃度	食塩
混ぜるもの	４％の食塩水
混ぜるもの	１０％の食塩水
できあがるもの	６％の食塩水

問題文からわかることを書き入れます

		食塩水	濃度	食塩
混ぜるもの	４％の食塩水	x	0.04
混ぜるもの	１０％の食塩水	y	0.1
できあがるもの	６％の食塩水	３００	0.06

食塩＝（食塩水の量）×（濃度）

		食塩水	濃度	食塩
混ぜるもの	４％の食塩水	x	0.04	0.04x
混ぜるもの	１０％の食塩水	y	0.1	0.1y
できあがるもの	６％の食塩水	３００	0.06	１８

食塩水の量と食塩の量を使ってそれぞれ式を作ります

・４％の食塩水の量	＋	１０％の食塩水の量	＝	６％の食塩水の量
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	３００

・４％の食塩水の食塩の量	＋	１０％の食塩水の食塩の量	＝	６％の食塩水の食塩の量
↓	↓	↓	↓	↓
0.04x	＋	0.1y	＝	１８

したがって連立方程式を作ると

｛	x＋y＝３００	これを解くと	｛	x＝２００
	0.04x＋0.1y＝１８			y＝１００

答え：４％の食塩水２００g、１０％の食塩水１００g　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題④

あるクラス５０人で、男子の平均身長は１６４cm、
女子の平均身長は男子の平均よりも１０cm低く、男女全体の平均身長は１６０cm。
このときの男子と女子それぞれの人数を求める。

男子の人数をx人、女子の人数をy人とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

男子の方が１０cm高いのだから、女子＝男子－１０
したがって１６４－１０＝１５４（cm）

まず表を書きます
平均×人数＝合計

		平均身長	人数	身長の合計
たすもの	男子	１６４	x	１６４x
たすもの	女子	１５４	y	１５４y
合計	全体	１６０	５０	８０００

人数と身長の合計を使って、それぞれ式を作ります

・男子の人数	＋	女子の人数	＝	５０人
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	５０

・男子の身長の合計	＋	女子の身長の合計	＝	全体の身長の合計
↓	↓	↓	↓	↓
１６４x	＋	１５４y	＝	８０００

したがって連立方程式を作ると

｛	x＋y＝５０	これを解くと	｛	x＝３０
	１６４x＋１５４y＝８０００			y＝２０

答え：男子３０人、女子２０人　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題⑤

１本１２０円の缶ジュースと１本１４０円のペットボトルを数個ずつ買った。
買った個数は缶ジュースの方がペットボトルよりも２本多かった
合計金額が１２８０円だったとき、それぞれ何本買ったか求める。（消費税は考えない）

缶ジュースの本数をx本、ペットボトルの本数をy本とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

・缶ジュースの本数	は	ペットボトルの本数	より２本多い
↓	↓	↓	↓
x	＝	y	＋２

・缶ジュースの合計金額	＋	ペットボトルの合計金額	＝	１２８０円
↓	↓	↓	↓	↓
１２０x	＋	１４０y	＝	１２８０

したがって連立方程式を作ると

｛	x＝y－２	これを解くと	｛	x＝６
	１２０x＋１４０y＝１２８０			y＝４

答え：缶ジュース６本、ペットボトル４本　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題⑥

アメを生徒全員に３個ずつ配ると１０個あまり、４個ずつ配ると５個足りなくなる。
生徒の人数とアメの個数を求める。

生徒の人数をx人、アメの個数をy個とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

・３個ずつ配ったもの	は	アメの個数	より１０個少ない
↓	↓	↓	↓
３x	＝	y	－１０

・４個ずつ配ったもの	は	アメの個数	より５個多い
↓	↓	↓	↓
４x	＝	y	＋５

したがって連立方程式を作ると

｛	３x＝y－１０	これを解くと	｛	x＝１５
	４x＝y＋５			y＝５５

答え：生徒１５人、アメ５５個　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題⑦

２３０kmはなれた街に行くのに、途中から高速道路を利用した。
高速道路では時速９０km、一般道路では時速５０kmで走って、
全体で３時間かかった。
このとき走った高速道路と一般道路の距離を求める。

一般道路の距離をx（km）、高速道路の距離をy（km）とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

まず表を書きます
問題文から分かることをメモします

	速さ	時間	距離
一般道路	時速５０km		x
高速道路	時速９０km		y
全体	－－－	３	２３０

時間＝距離÷速さ

速さ

時間

距離

一般道路

時速５０km

５０

高速道路

時速９０km

９０

全体

－－－

３

２３０

時間と距離を使ってそれぞれ式を作ります

・一般道路の距離	＋	高速道路の距離	＝	２３０km
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	２３０

・一般道路の時間	＋	高速道路の時間	＝	３時間
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	３

５０		９０

したがって連立方程式を作ると

｛

x＋y＝２３０

これを解くと

｛

x＝５０

x	＋	y	＝３

５０		９０

y＝１８０

答え：一般道路５０km、高速道路１８０km　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題⑧

今年の生徒の人数は４２３人で、
去年と比べて男子は７％増え、女子は５％減って全体では３人増えている。
今年の男子と女子の人数をそれぞれ求める。

去年の男子の人数をx人、去年の女子の人数をy人とする・・・これを書かないとテストでは×、または減点になります。

※　注意
去年の人数をもとにして今年の人数を表しているため、去年の人数をx、yとします
今年の人数をx、yとすることもできますが、この場合、立式・計算ともに数倍難しくなります

まず表を作ります

	去年の人数	割合	今年の人数
男子	x	1.07	1.07x
女子	y	0.95	0.95y
合計	４２０		４２３

去年の人数と今年の人数からそれぞれ式を作ります

・去年の男子の人数	＋	去年の女子の人数	＝	去年の全体の人数
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	４２０

・今年の男子の人数	＋	今年の女子の人数	＝	今年の全体の人数
↓	↓	↓	↓	↓
1.07x	＋	0.95y	＝	４２３

したがって連立方程式を作ると

｛	x＋y＝４２０	これを解くと	｛	x＝２００
	1.07x＋0.95y＝４２３			y＝２２０

まだ終わりではありません

xとyは、去年の男子と女子の人数なので、これをもとに今年の男子と女子の人数を求めます

今年の男子＝去年の男子×1.07＝２００×1.07＝２１４
今年の女子＝去年の女子×0.95＝２２０×0.95＝２０９

答え：男子２１４人、女子２０９人　・・・答えを書き忘れると、当然×になります。（単位忘れにも注意）

文章題⑨

２桁の整数がある。
十の位と一の位の数の和は１３で、
十の位と一の位の数字を入れかえた数は、もとの数よりも２７大きい。
このときの、もとの整数を求める。

２桁の整数の十の位をx、一の位をyとおく

もとの数		十の位のxと、一の位のyを入れかえる →→→→→→→→→→	入れかえた数
十の位	一の位		十の位	一の位
x	y		y	x

もとの数を式であらわす

十の位・・・x	１０がx個あるから・・・１０×x	したがって、もとの数は１０x＋y で、表すことができる
一の位・・・y	１がy個あるから・・・１×y	したがって、もとの数は１０x＋y で、表すことができる

入れかえた数を式であらわす

十の位・・・y	１０がy個あるから・・・１０×y	したがって、入れかえた数は１０y＋x で、表すことができる
一の位・・・x	１がx個あるから・・・１×x	したがって、入れかえた数は１０y＋x で、表すことができる

これを使って式を作ります

・十の位の数	＋	一の位の数	＝	１３
↓	↓	↓	↓	↓
x	＋	y	＝	１３

・入れかえた数	は	もとの数	よりも２７大きい
↓	↓	↓	↓
１０y＋x	＝	１０x＋y	＋２７

したがって連立方程式を作ると

｛	x＋y＝１３	これを解くと	｛	x＝５
	１０y＋x＝１０x＋y＋２７			y＝８

答え：５８　・・・答え方に注意。答えを書き忘れると、当然×になります。

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