等式の性質
等式には以下の4つの性質があります
両辺に同じものをたしてよい
両辺から同じものをひいてよい
両辺に同じものをかけてよい
両辺を同じもので割ってよい |
この性質を用いて、もともとの等式を違う形に変えることを等式変形(とうしきへんけい)といいます。
等式変形
もともとの形を等式変形して x=____という形にすることを
「xについて解く」といいます。
同様に「aについて解く」「yについて解く」などの言葉が使われます。
下の例では、すべてxについて解いてみます。
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例
@ |
x−a
x−a+a
x |
=y
両辺にaを加える
=y+a
=y+a |
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a
x+y
x+y−y
x |
=x+y
左辺と右辺を入れかえる
=a
両辺からyをひく
=a−y
=a−y |
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=a |
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両辺にbをかける |
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=a×b |
x |
=ab |
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ax
ax÷a |
=b
両辺をaでわる
=b÷a |
x |
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下の例では、すべてxについて解いてみます
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例
A |
ax+by
ax+by−by
ax
ax÷a |
=c
両辺からbyをひく
=c−by
=c−by
両辺をaで割る
=(c−by)÷a |
・・・xと同じ側(左辺)にあるものの中で、
xに一番関係のないものから消していく |
x |
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y |
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左辺と右辺を入れかえる |
・・・まずはxを左辺にもってくる |
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=y |
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両辺に2をかける |
・・・xと同じ側(左辺)を分数でなくする |
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=y×2 |
(↑いきなり |
1 |
aで割ることもできるがミスしやすい) |
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2 |
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ax
ax÷a |
=2y
両辺をaで割る
=2y÷a |
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x |
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a
3(x+y)
3(x+y)÷3 |
=3(x+y)
左辺と右辺を入れかえる
=a
両辺を3で割る
=a÷3 |
・・・まずはxを左辺にもってくる
・・・xと同じ側(左辺)にあるものの中で、
xに一番関係のないものから消していく |
x+y |
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(3x+3yと計算してしまわない) |
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両辺からyをひく |
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x+y−y |
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x |
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b |
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左辺と右辺を入れかえる |
・・・まずはxを左辺にもってくる |
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=b |
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両辺に2をかける |
・・・xと同じ側(左辺)を分数でなくする |
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=b×2 |
(↑いきなり |
1 |
aで割ることもできるがミスしやすい) |
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2 |
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(x+y)a
(x+y)a÷a |
=2b
両辺をaで割る
=2b÷a |
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x+y |
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両辺からyをひく |
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x+y−y |
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|
x |
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下の例では、すべてxについて解いてみます
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例
B |
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・・・求めたい文字が分母にある場合は
最初に両辺にその文字をかけてしまう |
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両辺にxをかける |
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1 |
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左辺と右辺を入れかえる |
・・・xを左辺にもってくる |
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=1 |
・・・ここで( |
1 |
+ |
1 |
)で割るのは大変なので先にかっこの中身を計算 |
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a |
b |
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=1 |
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=1 |
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両辺にabをかける |
・・・xと同じ側(左辺)を分数でなくする |
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=1×ab |
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(a+b)x
(a+b)x÷(a+b) |
=ab
両辺を(a+b)で割る
=ab÷(a+b) |
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x |
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・・・求めたい文字が分母にある場合は
最初に両辺にその文字をかけてしまう |
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・・・最初にxをかけたくなるが、先に |
1 |
を移項する |
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y |
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両辺にxをかける |
・・・求めたいxが分母にあるため |
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1 |
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左辺と右辺を入れかえる |
・・・xを左辺にもってくる |
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=1 |
・・・ここで( |
1 |
− |
1 |
)で割るのは大変なので先にかっこの中身を計算 |
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a |
y |
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=1 |
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両辺にayをかける |
・・・xと同じ側(左辺)を分数でなくする |
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=1×ay |
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(y−a)x
(y−a)x÷(y−a) |
=ay
両辺を(y−a)で割る
=ay÷(y−a) |
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x |
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比
a:b=c:d
比の値を使います。 (比の値を求める式) a:b= |
a |
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b |
したがってa:b=c:dを比の値を使って表すと |
a |
= |
c |
と表すことができます。 |
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b |
d |
この両辺にbdをかけると、ad=bc となります。
したがって、a:b=c:d のaとd(外側同士)かけたものと、bとc(内側同士)かけたものが等しくなります。
この式を使って、5:3=x:4などの問題で、3x=20 のように、方程式に書き換えることができます。
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