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等式変形　＜中学校数学＞

等式の性質

等式には以下の４つの性質があります

両辺に同じものをたしてよい
両辺から同じものをひいてよい
両辺に同じものをかけてよい
両辺を同じもので割ってよい

この性質を用いて、もともとの等式を違う形に変えることを等式変形（とうしきへんけい）といいます。

等式変形

もともとの形を等式変形して　x＝＿＿＿＿という形にすることを
「xについて解く」といいます。
同様に「aについて解く」「yについて解く」などの言葉が使われます。

下の例では、すべてxについて解いてみます。
例
①		 x－a
　
x－a＋a
x		 ＝y
両辺にaを加える
＝y＋a
＝ｙ＋a
a
　
x＋y
　
x＋y－y
x		 ＝x＋y
左辺と右辺を入れかえる
＝a
両辺からyをひく
＝a－y
＝a－y
x
b
＝a
両辺にbをかける
x ×b
b
＝a×b
x ＝ab
ax

ax÷a		 ＝b
両辺をaでわる
＝b÷a
x
＝ b
a

下の例では、すべてxについて解いてみます
例
②		 ax＋by

ax＋by－by
ax

ax÷a		 ＝c
両辺からbyをひく
＝c－by
＝c－by
両辺をaで割る
＝（c－by）÷a
・・・xと同じ側（左辺）にあるものの中で、
　　　xに一番関係のないものから消していく
x
＝ c－by
a
y
＝ １ ax
２
左辺と右辺を入れかえる ・・・まずはxを左辺にもってくる
１ ax
２
＝y
両辺に２をかける ・・・xと同じ側（左辺）を分数でなくする
１ ax×２
２
＝y×２
　（↑いきなり １ aで割ることもできるがミスしやすい）
２
ax

ax÷a		 ＝２y
両辺をaで割る
＝２y÷a
x
＝ ２y
a
a

３（x＋y）

３（x＋y）÷３		 ＝３（x＋y）
左辺と右辺を入れかえる
＝a
両辺を３で割る
＝a÷３
・・・まずはxを左辺にもってくる

・・・xと同じ側（左辺）にあるものの中で、
　　　xに一番関係のないものから消していく
x＋y
＝ a
３
　　（３x＋３yと計算してしまわない）
両辺からyをひく
x＋y－y
＝ a －y
３
x
＝ a －y
３
b
＝ １ （x＋y）a
２
左辺と右辺を入れかえる ・・・まずはxを左辺にもってくる
１ （x＋y）a
２
＝b
両辺に２をかける ・・・xと同じ側（左辺）を分数でなくする
１ （x＋y）a×２
２
＝b×２
　（↑いきなり １ aで割ることもできるがミスしやすい）
２
（x＋y）a

（x＋y）a÷a		 ＝２b
両辺をaで割る
＝２b÷a
x＋y
＝ ２b
a
両辺からyをひく
x＋y－y
＝ ２b －y
a
x
＝ ２b －y
a

下の例では、すべてxについて解いてみます
例
③
１
x
＝ １ ＋ １
a b
・・・求めたい文字が分母にある場合は
　　　最初に両辺にその文字をかけてしまう
両辺にxをかける
１ ×x
x
＝（ １ ＋ １ ）×x
a b
１
＝（ １ ＋ １ ）x
a b
左辺と右辺を入れかえる ・・・xを左辺にもってくる
（ １ ＋ １ ）x
a b
＝１
・・・ここで（ １ ＋ １ ）で割るのは大変なので先にかっこの中身を計算
a b
（ b ＋ a ）x
ab ab
＝１
a＋b x
ab
＝１
両辺にabをかける ・・・xと同じ側（左辺）を分数でなくする
a＋b x×ab
ab
＝１×ab
（a＋b）x

（a＋b）x÷（a＋b）		 ＝ab
両辺を（a＋b）で割る
＝ab÷（a＋b）
x
＝ ab
a＋b
・・・求めたい文字が分母にある場合は
　　　最初に両辺にその文字をかけてしまう
１ ＋ １
x y
＝ １
a
両辺から １ をひく
y
・・・最初にxをかけたくなるが、先に １ を移項する
y
１ ＋ １ － １
x y y
＝ １ － １
a y
１
x
＝ １ － １
a y
両辺にxをかける ・・・求めたいxが分母にあるため
１ ×x
x
＝（ １ － １ ）×x
a y
１
＝（ １ － １ ）×x
a y
左辺と右辺を入れかえる ・・・xを左辺にもってくる
（ １ － １ ）x
a y
＝１
・・・ここで（ １ － １ ）で割るのは大変なので先にかっこの中身を計算
a y
y－a x
ay
＝１
両辺にayをかける ・・・xと同じ側（左辺）を分数でなくする
y－a x×ay
ay
＝１×ay
（y－a）x

（y－a）x÷（y－a）		 ＝ay
両辺を（y－a）で割る
＝ay÷（y－a）
x
＝ ay
y－a

比

a：b＝c：d

比の値を使います。　（比の値を求める式）　a：b＝ a
b
したがってa：b＝c：dを比の値を使って表すと　 a ＝ c 　と表すことができます。
b d

この両辺にbdをかけると、ad＝bc　となります。

したがって、a：b＝c：d　のaとd（外側同士）かけたものと、bとc（内側同士）かけたものが等しくなります。

この式を使って、５：３＝x：４などの問題で、３x＝２０　のように、方程式に書き換えることができます。

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