正負の数　＜中学校数学＞

正負の数

０より小さいものを表すとき、０よりどれだけ小さいかを「−」の符号をつけて−１、−２などのように表します。
「−」の符号はマイナスと読みます。

絶対値

０よりどれだけ大きいか、または小さいかを絶対値といいます。
０からどれだけ離れているかを表すため、絶対値は０からの距離と解説されています。

例えば（−３）の絶対値は３です。

正負の数の加減の基礎

		＋３
		−３
		−３	マイナスの方向に ３進んだのと同じ したがって −（＋３）＝＋（−３） ひき算をたし算にすることができる
		＋３	プラスの方向に ３進んだのと同じ したがって −（−３）＝＋（＋３） ひき算をたし算にすることができる

正負の数の加法（たし算）

＜符号の同じ２つの数の加法＞　・・・　（＋●）＋（＋○）　または　（−●）＋（−○）

（＋●）＋（＋○）　最初に「＋」が省略されていると考えて　＋（＋●）＋（＋○）
　プラスの方向に●だけ進んで、プラスの方向に○だけ進む。
　したがってプラスの方向に（●＋○）進んだことになる。
（＋●）＋（＋○）＝＋（●＋○）

（−●）＋（−○）　最初に「＋」が省略されていると考えて　＋（−●）＋（−○）
　マイナスの方向に●だけ進んで、マイナスの方向に○だけ進む。
　したがってマイナスの方向に（●＋○）進んだことになる。
（−●）＋（−○）＝−（●＋○）

＜符号の異なる２つの数の加法＞　・・・　（＋●）＋（−○）　または　（−●）＋（＋○）

プラスの方向に●だけ進んで、マイナスの方向に○だけ進む。
マイナスの方向に●だけ進んで、プラスの方向に○だけ進む。

	最初に大きくプラスの方向に●だけ進む。 次に逆方向に○だけ進む。 大きく進んだほうの符合をつけ、数字部分には進んだ距離の差を入れる。 例 （＋４）＋（−３） ＝＋（４−３） ＝１
	最初に大きくマイナスの方向に●だけ進む。 次に逆方向に○だけ進む。 大きく進んだほうの符合をつけ、数字部分には進んだ距離の差を入れる。 例 （−４）＋（＋２） ＝−（４−２） ＝−２
	最初に小さく進み、逆方向に０をまたいで大きく進む計算は、 慣れないうちは間違えやすいので・・・ （＋３）＋（−５）＝（−５）＋（＋３）　または　 （−３）＋（＋５）＝（＋５）＋（−３）　のように、 たし算の順番を変えて考えればよい。 例 （＋２）＋（−３） ＝（−３）＋（＋２） ＝−（３−２） ＝−１ （−１）＋（＋４） ＝（＋４）＋（−１） ＝＋（４−１） ＝３

※注意　たし算は順番を変えることができる

正負の数の減法（ひき算）

ひき算は必ずたし算に直してから計算します。

項の数が多いたし算・ひき算

まず、ひき算をたし算に直します。
次に、左から順番に計算します。　・・・（たし算に直さなかった場合、順番どおりに計算しないと答えが違ってきます）

ひき算をたし算に直した後、プラスのものとマイナスのものを分けて計算すると簡単にできます。

かっこをはずす

最初にたし算に直してから、かっこの外にある＋と、かっこを消すだけ。

実際に計算するときは「かっこ」があると思って計算します。

正負の数の乗法（かけ算）

分速30mで進んだとき、10分後、10分前それぞれどこの位置にいるか。

　10分後（＋10分）　：　（＋300m/分）×（＋10分）＝＋300m　・・・　プラス×プラス＝プラス
　10分前（−10分）　：　（＋300m/分）×（−10分）＝−300m　・・・　プラス×マイナス＝マイナス

分速30mで戻ったとき、10分後、10分前それぞれどこの位置にいるか。

　10分後（＋10分）　：　（−300m/分）×（＋10分）＝−300m　・・・　マイナス×プラス＝マイナス
　10分前（−10分）　：　（−300m/分）×（−10分）＝＋300m　・・・　マイナス×マイナス＝プラス

このことから、かけ合わせる２つの数の符号によって答えの符号が決まることがわかります。

逆数

かけて１になる数を、もとの数の逆数といいます。

正負の数の除法（わり算）

除法の場合、逆数の考え方を使って、かけ算に直してから計算します。

累乗

累乗（るいじょう）はそのものを何回かけ合わせるかを表しています。
右上につけられる数字によって２乗、３乗などといいます。
２乗のことを平方（へいほう）、３乗のことを立方（りっぽう）といいます。
下記の２種類が出てくるので区別できるように。

タイプ１　（−●）^○　の場合　・・・　かっこの中身が何回かけ合わされたかを表します。

（−２）を２回かけ合わせる　・・・　（−２）^２＝（−２）×（−２）＝４
（−２）を３回かけ合わせる　・・・　（−２）^３＝（−２）×（−２）×（−２）＝−８

タイプ２　−●^○　の場合　・・・　直前の数字だけ何回かけ合わされたかを表します。

−２^２＝−（２×２）＝−４
−２^３＝−（２×２×２）＝−８

ちょっと書き換えると
　−２^２＝（−１）×２^２＝−４
　−２^３＝（−１）×２^３＝−８
という意味になります。

項の数が多いかけ算

（−２）＝（−１）×２　、また、（＋２）＝２

実際に（−１）×２を計算してみると（−２）になることがわかるはず。
このことを使って、式に出てくる（−●）を（−１）×●に直すことができる。

上の例で２×３×３×５＝９０　・・・　これはもとの数のそれぞれの絶対値の積

ここで（−１）×（−１）の部分は何を表しているか。

実際に計算して確かめてみましょう。

（−１）を５回以上かけ合わせたときも同様に計算して表にしてみると、

（−１）を何回かけ合わせたかによって符号が決まります。

したがって、先ほどの例の（−１）×（−１）の部分で答えの符号が決められていたことがわかります。
この場合２回だったので、答えはマイナスになることがわかります。

＜注意＞　奇数・偶数って覚えてますか？
　奇数は１，３，５，７など（２でわると１余る数）
　偶数は２，４，６，８など（２でわりきれる数）

乗法と除法が混じった計算

除法の場合、わり算はかけ算に直してから計算することが出来る為、
答えの符号の決め方は乗法とまったく同じです。

必ず一度かけ算に直してから計算しましょう。

四則混合算

かけ算・わり算を先に、たし算・ひき算を後に計算します。

累乗は、かけ算・わり算よりも先に計算します。

かっこのある場合、かっこの中だけ先に、四則混合計算の手順にしたがって計算します。
｛｝は中かっこといいます。

正負の数を使った実際の例

ゴルフのスコアを計算する時

ゴルフでは、ひとつのホールごとに基準となる打数が決められています。
３打でボールがカップに入ることが基準になっている場合、パー３、
４打でボールがカップに入ることが基準になっている場合、パー４などのように書かれています。
それをもとにして、基準になっている打数でボールがカップに入った場合、スコアは０
基準になっている打数よりも１打多くかかってしまった場合、スコアは＋１
基準になっている打数よりも２打多くかかってしまった場合、スコアは＋２
基準になっている打数よりも１打少なくてボールがカップに入った場合、スコアは−１
つまり、スコアは全て正負の数で表され、マイナスになるほど成績が良いということになります。
これらのスコアをつけていき、最後に正負の数のたし算をして合計の成績をつけます。

正負の数のたし算によって、Bさんの方が合計スコアが良い（打数が少ない）ことがわかりました

正負の数を使った便利な計算（合計）

買い物で98円のノート６冊と、105円のペンを２本買った場合の合計金額

２種類の品物の値段は98円と105円なので、その間にある数字で計算しやすそうな数字は・・・100

100円を基準に考えて、ノート６冊とペン２本で合計８個の品物を買ったから、
100円×８個＝800円
合計金額は800円くらいになると予想できる（基準の数字の合計）

100円を基準にしてそれぞれの品物の値段を正負の数を使って表してみると
ノートは基準の100円より２円安いから（−２）
ペンは基準の100円より５円高いから（＋５）

２円安いものを６個と、５円高いものを２個買ったから
　 （−２）×６＋（＋５）×２
＝（−１２）＋（＋１０）
＝−２
これによって、実際の合計は、基準の数字の合計よりも２小さいことがわかる

したがって、基準にした合計金額800円から（−２）して
800＋（−２）＝798
合計金額は798円になる

正負の数を使った便利な計算（平均）

５人の平均を求める

普通の計算のやり方では　・・・　
（１７０＋１６５＋１７４＋１７２＋１６４）＝８４５　・・・　全員の合計を計算する（計算が大変）
８４５÷５＝１６９　・・・　最後に合計を人数でわって平均を出す

＜正負の数を使ったやり方＞

Aの１７０を基準にして、B、C、D、Eが基準の値よりどれだけ大きいか小さいかを正負の数で表してみると、
　Bは基準の170よりも５小さいから（−５）と表せる。
　Cは基準の170よりも４大きいから（＋４）と表せる。
　Dは基準の170よりも２大きいから（＋２）と表せる。
　Eは基準の170よりも６小さいから（−６）と表せる。

まず、正負の数で表したものの合計を計算する
　 ０＋（−５）＋（＋４）＋（＋２）＋（−６）
＝（−５）＋（−６）＋（＋４）＋（＋２）
＝（−１１）＋（＋６）
＝−５
　これによって、実際の合計は、基準の数字の合計よりも５小さいことがわかる

それを人数でわる（平均をだす）
−５÷５＝−１
　これによって、基準の値よりどれだけ大きいか小さいかを表したものの平均は、基準の値よりも１小さいことがわかる

基準にした数にその数をたす
　 １７０＋（−１）
＝１７０−１
＝１６９　・・・　これで平均が求められた（正負の数に慣れれば計算は簡単）

＜この方法で平均を求めることができる理由＞
　 （１７０＋１６５＋１７４＋１７２＋１６４）÷５　・・・　通常の計算式
＝｛１７０＋（１７０−５）＋（１７０＋４）＋（１７０＋２）＋（１７０−６）｝÷５
＝｛（＋１７０）＋（＋１７０）＋（−５）＋（＋１７０）＋（＋４）＋（＋１７０）＋（＋２）＋（＋１７０）＋（−６）｝÷５
＝｛（＋１７０）＋（＋１７０）＋（＋１７０）＋（＋１７０）＋（＋１７０）＋（−５）＋（＋４）＋（＋２）＋（−６）｝÷５
＝｛１７０×５＋（−５）＋（＋４）＋（＋２）＋（−６）｝÷５
＝１７０×５÷５＋｛（−５）＋（＋４）＋（＋２）＋（−６）｝÷５
＝１７０＋｛（−５）＋（＋４）＋（＋２）＋（−６）｝÷５
＝（基準にした数）＋（それをもとに正負の数で表したものの平均）

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